問題は、部分積分法を用いて以下の定積分を計算することです。 (3) $\int_1^{e^2} \sqrt{x} \log{x} dx$

1. 問題の内容

問題は、部分積分法を用いて以下の定積分を計算することです。

(3) $\int_1^{e^2} \sqrt{x} \log{x} dx$

2. 解き方の手順

部分積分法を用いるために、$u = \log{x}$ と $dv = \sqrt{x} dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{x} dx$ と $v = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ となります。

部分積分法の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

$\int_1^{e^2} \sqrt{x} \log{x} dx = \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \log{x}\right]_1^{e^2} - \int_1^{e^2} \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} dx$

$= \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \log{x}\right]_1^{e^2} - \frac{2}{3} \int_1^{e^2} x^{\frac{1}{2}} dx$

$= \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \log{x}\right]_1^{e^2} - \frac{2}{3} \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_1^{e^2}$

$= \frac{2}{3}(e^2)^{\frac{3}{2}} \log{(e^2)} - \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} \log{(1)} - \frac{4}{9}(e^2)^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{9}(1)^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{2}{3}e^3 \cdot 2 - 0 - \frac{4}{9}e^3 + \frac{4}{9}$

$= \frac{4}{3}e^3 - \frac{4}{9}e^3 + \frac{4}{9}$

$= \frac{12}{9}e^3 - \frac{4}{9}e^3 + \frac{4}{9}$

$= \frac{8}{9}e^3 + \frac{4}{9}$

$= \frac{8e^3+4}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{8e^3+4}{9}$