次の三角関数に関する方程式および不等式を、 $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解く問題です。 (ア) $\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$ (イ) $2\cos^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta + 1 = 0$ (ウ) $\cos 2\theta - 7\cos \theta + 4 \ge 0$

1. 問題の内容

次の三角関数に関する方程式および不等式を、 $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解く問題です。

(ア) $\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$

(イ) $2\cos^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta + 1 = 0$

(ウ) $\cos 2\theta - 7\cos \theta + 4 \ge 0$

2. 解き方の手順

(ア) $\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$

左辺を合成します。

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \alpha = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{6}$

よって、

$2 \sin (\theta + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}$

$\sin (\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、 $\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$

$\theta = \frac{3\pi - 2\pi}{12}, \frac{9\pi - 2\pi}{12}$

$\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$

(イ) $2\cos^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta + 1 = 0$

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ を代入します。

$2(1 - \sin^2 \theta) - \sqrt{3} \sin \theta + 1 = 0$

$2 - 2\sin^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta + 1 = 0$

$2\sin^2 \theta + \sqrt{3} \sin \theta - 3 = 0$

$\sin \theta = t$ とおくと、

$2t^2 + \sqrt{3} t - 3 = 0$

$t = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}$

$t = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 24}}{4}$

$t = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{4}$

$t = \frac{-\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4}$

$t = \frac{2\sqrt{3}}{4}, \frac{-4\sqrt{3}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3}$

$-1 \le \sin \theta \le 1$ より、 $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

(ウ) $\cos 2\theta - 7\cos \theta + 4 \ge 0$

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ を代入します。

$2\cos^2 \theta - 1 - 7\cos \theta + 4 \ge 0$

$2\cos^2 \theta - 7\cos \theta + 3 \ge 0$

$\cos \theta = t$ とおくと、

$2t^2 - 7t + 3 \ge 0$

$(2t - 1)(t - 3) \ge 0$

$t \le \frac{1}{2}, t \ge 3$

$-1 \le \cos \theta \le 1$ より、 $\cos \theta \le \frac{1}{2}$

$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(ア) $\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$

(イ) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

(ウ) $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$