関数 $y = e^{-\frac{x^2}{3}}$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-\frac{x^2}{3}}$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = e^{-\frac{x^2}{3}}$ を $x$ について微分します。

まず、合成関数の微分法（チェインルール）を適用します。

$u = -\frac{x^2}{3}$ とおくと、$y = e^u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。

まず、$\frac{dy}{du}$ を計算します。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} (e^u) = e^u$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$u = -\frac{x^2}{3}$ なので、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (-\frac{x^2}{3}) = -\frac{2x}{3}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (-\frac{2x}{3}) = e^{-\frac{x^2}{3}} \cdot (-\frac{2x}{3})$

$=-\frac{2x}{3} e^{-\frac{x^2}{3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{3} e^{-\frac{x^2}{3}}$