定積分 $\int_{0}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx$ の値を求めます。

## 問題 2(修正版) の解答

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。部分積分の公式は以下の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

ここで、$u = x$、$dv = e^{\frac{x}{2}} dx$ とおきます。

すると、$du = dx$、$v = \int e^{\frac{x}{2}} dx = 2e^{\frac{x}{2}}$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int_{0}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx = [x(2e^{\frac{x}{2}})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} 2e^{\frac{x}{2}} dx$

$= [2xe^{\frac{x}{2}}]_{0}^{2} - [4e^{\frac{x}{2}}]_{0}^{2}$

$= (2(2)e^{\frac{2}{2}} - 2(0)e^{\frac{0}{2}}) - (4e^{\frac{2}{2}} - 4e^{\frac{0}{2}})$

$= (4e - 0) - (4e - 4)$

$= 4e - 4e + 4$

$= 4$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx = 4$