定積分 $\int_{0}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx$ の値を求めます。

はい、承知しました。問題の中から(2) $\int_{0}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx$ を解きます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。部分積分の公式は次の通りです。

$\int u v' dx = uv - \int u' v dx$

ここで、$u = x$、$v' = e^{\frac{x}{2}}$ とします。すると、$u' = 1$、$v = \int e^{\frac{x}{2}} dx = 2e^{\frac{x}{2}}$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx = \left[ x \cdot 2e^{\frac{x}{2}} \right]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} 1 \cdot 2e^{\frac{x}{2}} dx$

$= \left[ 2xe^{\frac{x}{2}} \right]_{0}^{2} - \left[ 4e^{\frac{x}{2}} \right]_{0}^{2}$

$= (2 \cdot 2 \cdot e^{\frac{2}{2}} - 2 \cdot 0 \cdot e^{\frac{0}{2}}) - (4e^{\frac{2}{2}} - 4e^{\frac{0}{2}})$

$= (4e - 0) - (4e - 4)$

$= 4e - 4e + 4$

$= 4$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx = 4$