与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y=(x-1)^2$ (2) $y=(3x-1)^3$ (3) $y=(2x-1)(x-2)^2$ (4) $y=(x^2+2x+3)^2$ (5) $y=\frac{1}{(2x+3)^2}$ (6) $y=(\frac{x}{x-1})^3$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y=(x-1)^2$

(2) $y=(3x-1)^3$

(3) $y=(2x-1)(x-2)^2$

(4) $y=(x^2+2x+3)^2$

(5) $y=\frac{1}{(2x+3)^2}$

(6) $y=(\frac{x}{x-1})^3$

2. 解き方の手順

各関数に対して、以下の手順で微分を行います。

(1) $y=(x-1)^2$

合成関数の微分法を用います。$u = x-1$ とおくと、$y = u^2$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot 1 = 2(x-1) = 2x-2$

(2) $y=(3x-1)^3$

合成関数の微分法を用います。$u = 3x-1$ とおくと、$y = u^3$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot 3 = 9(3x-1)^2 = 9(9x^2 - 6x + 1) = 81x^2 - 54x + 9$

(3) $y=(2x-1)(x-2)^2$

積の微分法と合成関数の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = (2x-1)'(x-2)^2 + (2x-1)((x-2)^2)' = 2(x-2)^2 + (2x-1) \cdot 2(x-2) \cdot 1 = 2(x-2)^2 + 2(2x-1)(x-2) = 2(x-2)[(x-2) + (2x-1)] = 2(x-2)(3x-3) = 6(x-2)(x-1) = 6(x^2 - 3x + 2) = 6x^2 - 18x + 12$

(4) $y=(x^2+2x+3)^2$

合成関数の微分法を用います。$u = x^2+2x+3$ とおくと、$y = u^2$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot (2x+2) = 2(x^2+2x+3)(2x+2) = 4(x^2+2x+3)(x+1) = 4(x^3 + x^2 + 2x^2 + 2x + 3x + 3) = 4(x^3 + 3x^2 + 5x + 3) = 4x^3 + 12x^2 + 20x + 12$

(5) $y=\frac{1}{(2x+3)^2} = (2x+3)^{-2}$

合成関数の微分法を用います。$u = 2x+3$ とおくと、$y = u^{-2}$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -2u^{-3} \cdot 2 = -4(2x+3)^{-3} = -\frac{4}{(2x+3)^3}$

(6) $y=(\frac{x}{x-1})^3$

合成関数の微分法と商の微分法を用います。$u = \frac{x}{x-1}$ とおくと、$y = u^3$となります。

まず、$u$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = \frac{(x)'(x-1) - x(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1(x-1) - x(1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1 - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}$

次に、$y$ を $u$ で微分します。$\frac{dy}{du} = 3u^2$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3(\frac{x}{x-1})^2 \cdot \frac{-1}{(x-1)^2} = -\frac{3x^2}{(x-1)^4}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2x-2$

(2) $y' = 81x^2 - 54x + 9$

(3) $y' = 6x^2 - 18x + 12$

(4) $y' = 4x^3 + 12x^2 + 20x + 12$

(5) $y' = -\frac{4}{(2x+3)^3}$

(6) $y' = -\frac{3x^2}{(x-1)^4}$