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無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3(\frac{1}{2})^{n-1}$ の和を求める問題です。

解析学無限級数等比級数収束和
2025/6/26

1. 問題の内容

無限等比級数 ∑n=1∞3(12)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 3(\frac{1}{2})^{n-1} の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

無限等比級数の和の公式を使います。
無限等比級数 ∑n=1∞arn−1\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} の和は、 ∣r∣<1|r|<1 のとき a1−r\frac{a}{1-r} で与えられます。
この問題の場合、初項 a=3a=3 で、公比 r=12r=\frac{1}{2} です。
公比の絶対値が1より小さい (∣12∣<1|\frac{1}{2}| < 1) ため、この無限等比級数は収束し、和を求めることができます。
無限等比級数の和の公式に a=3a=3 と r=12r=\frac{1}{2} を代入すると、
a1−r=31−12=312=3×2=6\frac{a}{1-r} = \frac{3}{1-\frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \times 2 = 6

3. 最終的な答え

6

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問題は、次の無限級数 $S$ の値を求めることです。 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}} + \dots$

無限級数等比級数級数の和
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