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## 問題の解答

解析学定積分積分計算置換積分三角関数
2025/6/26
## 問題の解答
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1. 問題の内容

以下の5つの定積分を計算します。
(1) ∫−1212dx1−x2\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
(2) ∫012x−x2dx\int_{0}^{1} \sqrt{2x - x^2} dx
(3) ∫−33dxx2+9\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2 + 9}
(4) ∫01dx(1+x2)2\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)^2}
(5) ∫02dxx2+4\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 4}}
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2. 解き方の手順

**(1)**
* 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} は arcsin⁡x\arcsin x の導関数であるという事実を利用します。
∫−1212dx1−x2=[arcsin⁡x]−1212\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = [\arcsin x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}
arcsin⁡(12)=π6\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} そして arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}.
* 積分を実行します。
**(2)**
* 被積分関数を変形します。
2x−x2=1−(x−1)2\sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - (x-1)^2}
* 置換積分を実行します。
x−1=sin⁡θx - 1 = \sin\thetaとおきます。すると、dx=cos⁡θdθdx = \cos\theta d\theta。
x=0x=0 のとき sin⁡θ=−1\sin \theta = -1 つまり θ=−π2\theta = -\frac{\pi}{2}
x=1x=1 のとき sin⁡θ=0\sin \theta = 0 つまり θ=0\theta = 0
∫012x−x2dx=∫−π201−sin⁡2θcos⁡θdθ=∫−π20cos⁡2θdθ\int_{0}^{1} \sqrt{2x-x^2}dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sqrt{1-\sin^2\theta}\cos\theta d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos^2\theta d\theta
* cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} という事実を利用して、積分を計算します。
**(3)**
* x=3tan⁡θx = 3\tan\thetaとおきます。dx=3sec⁡2θdθdx = 3\sec^2\theta d\thetaとなります。
x=−3x = -\sqrt{3} のとき tan⁡θ=−33\tan\theta = -\frac{\sqrt{3}}{3} つまり θ=−π6\theta = -\frac{\pi}{6}.
x=3x = \sqrt{3} のとき tan⁡θ=33\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{3} つまり θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}.
x2+9=9tan⁡2θ+9=9sec⁡2θx^2+9 = 9\tan^2\theta + 9 = 9\sec^2\theta となります。
∫−33dxx2+9=∫−π6π63sec⁡2θ9sec⁡2θdθ=∫−π6π613dθ\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2 + 9} = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{3\sec^2\theta}{9\sec^2\theta} d\theta = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3} d\theta
* 積分を実行します。
**(4)**
* x=tan⁡θx = \tan\thetaとおきます。dx=sec⁡2θdθdx = \sec^2\theta d\thetaとなります。
x=0x = 0 のとき tan⁡θ=0\tan\theta = 0 つまり θ=0\theta = 0.
x=1x = 1 のとき tan⁡θ=1\tan\theta = 1 つまり θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}.
1+x2=1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1+x^2 = 1+\tan^2\theta = \sec^2\theta となります。
∫01dx(1+x2)2=∫0π4sec⁡2θsec⁡4θdθ=∫0π4cos⁡2θdθ\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)^2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2\theta}{\sec^4\theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2\theta d\theta
* cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} という事実を利用して、積分を計算します。
**(5)**
* x=2sinh⁡θx = 2\sinh\thetaとおきます。dx=2cosh⁡θdθdx = 2\cosh\theta d\thetaとなります。
x=0x = 0 のとき sinh⁡θ=0\sinh\theta = 0 つまり θ=0\theta = 0.
x=2x = 2 のとき sinh⁡θ=1\sinh\theta = 1 つまり θ=sinh⁡−11\theta = \sinh^{-1} 1.
x2+4=4sinh⁡2θ+4=2cosh⁡θ\sqrt{x^2+4} = \sqrt{4\sinh^2\theta+4} = 2\cosh\theta となります。
∫02dxx2+4=∫0sinh⁡−112cosh⁡θ2cosh⁡θdθ=∫0sinh⁡−11dθ\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 4}} = \int_{0}^{\sinh^{-1} 1} \frac{2\cosh\theta}{2\cosh\theta} d\theta = \int_{0}^{\sinh^{-1} 1} d\theta
* sinh⁡−1x=ln⁡(x+x2+1)\sinh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2+1})を使用します。
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3. 最終的な答え

(1) π3\frac{\pi}{3}
(2) π4\frac{\pi}{4}
(3) π3\frac{\pi}{3}
(4) π8+14\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}
(5) ln⁡(1+2)\ln(1+\sqrt{2})

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