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無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 \cdot 2^{n-1}}{3^n}$ の和を求める問題です。

解析学無限級数等比数列数列の和
2025/6/26

1. 問題の内容

無限級数 ∑n=1∞6⋅2n−13n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 \cdot 2^{n-1}}{3^n} の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数を計算します。
まず、定数6をシグマの外に出します。
∑n=1∞6⋅2n−13n=6∑n=1∞2n−13n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 \cdot 2^{n-1}}{3^n} = 6 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^n}
次に、2n−12^{n-1} を 2n/22^n / 2 に書き換えます。
6∑n=1∞2n−13n=6∑n=1∞2n2⋅3n=6⋅12∑n=1∞2n3n=3∑n=1∞(23)n6 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^n} = 6 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{2 \cdot 3^n} = 6 \cdot \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^n} = 3 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n
ここで、等比数列の和の公式 ∑n=1∞arn−1=a1−r\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r} を利用するために、(23)n\left(\frac{2}{3}\right)^n を (23)(23)n−1\left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} に書き換えます。
3∑n=1∞(23)n=3∑n=1∞(23)(23)n−1=3⋅23∑n=1∞(23)n−1=2∑n=1∞(23)n−13 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 3 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = 3 \cdot \frac{2}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}
等比数列の和の公式を適用します。ここで、a=1a=1、r=23r=\frac{2}{3} です。
2∑n=1∞(23)n−1=2⋅11−23=2⋅113=2⋅3=62 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = 2 \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} = 2 \cdot 3 = 6

3. 最終的な答え

6

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