次の数列の一般項 $a_n$ と初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。 (1) $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}, ...$ (2) $\frac{1}{1\cdot2\cdot3}, \frac{1}{2\cdot3\cdot4}, \frac{1}{3\cdot4\cdot5}, \frac{1}{4\cdot5\cdot6}, \frac{1}{5\cdot6\cdot7}, ...$

1. 問題の内容

次の数列の一般項 $a_n$ と初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

(1) $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}, ...$

(2) $\frac{1}{1\cdot2\cdot3}, \frac{1}{2\cdot3\cdot4}, \frac{1}{3\cdot4\cdot5}, \frac{1}{4\cdot5\cdot6}, \frac{1}{5\cdot6\cdot7}, ...$

2. 解き方の手順

(1)

まず、一般項 $a_n$ を求めます。

$a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$

次に、分母を有理化します。

$a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} \cdot \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{n - (n+1)} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{-1} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

次に、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

$= (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

$= \sqrt{n+1} - 1$

(2)

まず、一般項 $a_n$ を求めます。

$a_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}$

$1 = A(n+1)(n+2) + B(n)(n+2) + C(n)(n+1)$

$n=0$ のとき $1 = A(1)(2) \Rightarrow A = \frac{1}{2}$

$n=-1$ のとき $1 = B(-1)(1) \Rightarrow B = -1$

$n=-2$ のとき $1 = C(-2)(-1) \Rightarrow C = \frac{1}{2}$

よって、

$a_n = \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)} = \frac{(n+1)(n+2) - 2n(n+2) + n(n+1)}{2n(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 3n + 2 - 2n^2 - 4n + n^2 + n}{2n(n+1)(n+2)} = \frac{2}{2n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

別の方法で部分分数分解すると

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$

次に、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1\cdot2} - \frac{1}{2\cdot3} \right) + \left( \frac{1}{2\cdot3} - \frac{1}{3\cdot4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1\cdot2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{(n+1)(n+2) - 2}{2(n+1)(n+2)} \right) = \frac{n^2+3n+2-2}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

$S_n = \sqrt{n+1} - 1$

(2) $a_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

$S_n = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$