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関数 $f(x) = x^2 - 5x + 4$ について、$x = -1$ における微分係数 $f'(-1)$ を、微分係数の定義に従って求めよ。

解析学微分微分係数関数の微分極限
2025/6/26

1. 問題の内容

関数 f(x)=x2−5x+4f(x) = x^2 - 5x + 4 について、x=−1x = -1 における微分係数 f′(−1)f'(-1) を、微分係数の定義に従って求めよ。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は、
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
である。
この問題では、a=−1a = -1 なので、
f′(−1)=lim⁡h→0f(−1+h)−f(−1)hf'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}
を計算する。
まず、f(x)=x2−5x+4f(x) = x^2 - 5x + 4 に x=−1x = -1 を代入すると、
f(−1)=(−1)2−5(−1)+4=1+5+4=10f(-1) = (-1)^2 - 5(-1) + 4 = 1 + 5 + 4 = 10
となる。
次に、f(−1+h)f(-1+h) を計算すると、
f(−1+h)=(−1+h)2−5(−1+h)+4=(1−2h+h2)+5−5h+4=h2−7h+10f(-1+h) = (-1+h)^2 - 5(-1+h) + 4 = (1 - 2h + h^2) + 5 - 5h + 4 = h^2 - 7h + 10
となる。
したがって、
f(−1+h)−f(−1)=(h2−7h+10)−10=h2−7hf(-1+h) - f(-1) = (h^2 - 7h + 10) - 10 = h^2 - 7h
となる。
よって、
f(−1+h)−f(−1)h=h2−7hh=h(h−7)h=h−7\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h} = \frac{h^2 - 7h}{h} = \frac{h(h - 7)}{h} = h - 7
となる。
したがって、
f′(−1)=lim⁡h→0(h−7)=0−7=−7f'(-1) = \lim_{h \to 0} (h - 7) = 0 - 7 = -7
となる。

3. 最終的な答え

f′(−1)=−7f'(-1) = -7

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