与えられた関数の微分を計算し、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数の微分を計算し、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

1. 関数 $\frac{2x}{x^2 + 2x + 1}$ の微分を計算します。

$f(x) = \frac{2x}{x^2 + 2x + 1}$とすると、

$f'(x) = \frac{2(x^2 + 2x + 1) - 2x(2x + 2)}{(x^2 + 2x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x + 2 - 4x^2 - 4x}{(x^2 + 2x + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2}{(x^2 + 2x + 1)^2}$

したがって、(1) = 2, (2) = 2

2. 関数 $\frac{2x^2 + 3x - 2}{-x^2 + 2x + 1}$ の微分を計算します。

$g(x) = \frac{2x^2 + 3x - 2}{-x^2 + 2x + 1}$とすると、

$g'(x) = \frac{(4x+3)(-x^2+2x+1) - (2x^2+3x-2)(-2x+2)}{(-x^2+2x+1)^2}$

$=\frac{-4x^3 + 8x^2 + 4x -3x^2 + 6x +3 - (-4x^3 -6x^2 +4x + 4x^2 +6x -4)}{(-x^2+2x+1)^2}$

$=\frac{-4x^3 + 5x^2 + 10x + 3 + 4x^3 +2x^2 -10x +4}{(-x^2+2x+1)^2} = \frac{7x^2 + 7}{(-x^2+2x+1)^2}$

したがって、(3) = 7, (4) = 7

3. 関数 $\frac{4x - 1}{x^2 + 1}$ の微分を計算します。

$h(x) = \frac{4x - 1}{x^2 + 1}$とすると、

$h'(x) = \frac{4(x^2 + 1) - (4x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x^2 + 4 - 8x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-4x^2 + 2x + 4}{(x^2 + 1)^2}$

$h'(x) = - \frac{4x^2 - 2x - 4}{(x^2 + 1)^2}$

したがって、(5) = 4, (6) = -2, (7) = -4

4. 関数 $\frac{x^2 + 1}{2x}$ の微分を計算します。

$i(x) = \frac{x^2 + 1}{2x}$とすると、

$i'(x) = \frac{2x(2x) - (x^2 + 1)(2)}{(2x)^2} = \frac{4x^2 - 2x^2 - 2}{4x^2} = \frac{2x^2 - 2}{4x^2} = \frac{x^2 - 1}{2x^2}$

したがって、(8) = 1, (9) = 2

5. 関数 $\frac{3}{2x^2}$ の微分を計算します。

$j(x) = \frac{3}{2x^2} = \frac{3}{2}x^{-2}$とすると、

$j'(x) = \frac{3}{2}(-2)x^{-3} = -3x^{-3} = -\frac{3}{x^3}$

したがって、(10) = 3

3. 最終的な答え

(1) = 2

(2) = 2

(3) = 7

(4) = 7

(5) = 4

(6) = -2

(7) = -4

(8) = 1

(9) = 2

(10) = 3