与えられた数式の微分を計算し、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式の微分を計算し、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

1. $\{\sqrt{x(3-2x)}\}' = \frac{[ (1) ] - [ (2) ] x}{[ (3) ] \sqrt{x(3-2x)}}$ について

まず、$y = \sqrt{x(3-2x)} = (3x - 2x^2)^{1/2}$ と置きます。

これを $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (3x - 2x^2)^{-1/2} (3 - 4x) = \frac{3 - 4x}{2\sqrt{x(3-2x)}}$

となります。したがって、

$\frac{3 - 4x}{2\sqrt{x(3-2x)}} = \frac{[ (1) ] - [ (2) ] x}{[ (3) ] \sqrt{x(3-2x)}}$

なので、$1 = 3$, $2 = 4$, $3 = 2$ となります。

2. $\{\frac{x^{0.3}}{0.3} + \frac{(2-x)^{0.3}}{0.3}\}' = 0$ となる $x$ について

$\frac{d}{dx} (\frac{x^{0.3}}{0.3}) = \frac{0.3 x^{-0.7}}{0.3} = x^{-0.7}$

$\frac{d}{dx} (\frac{(2-x)^{0.3}}{0.3}) = \frac{0.3 (2-x)^{-0.7} (-1)}{0.3} = -(2-x)^{-0.7}$

よって、

$x^{-0.7} - (2-x)^{-0.7} = 0$

$x^{-0.7} = (2-x)^{-0.7}$

$(\frac{1}{x})^{0.7} = (\frac{1}{2-x})^{0.7}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2-x}$

$x = 2-x$

$2x = 2$

$x = 1$

したがって、$4 = 1$ となります。

3. $\{(2x+1)^{0.3} (3x-2)^{0.4}\}'= [ (5) ] (2x+1)^{-1 [ (6) ]} (3x-2)^{[ (7) ]} + [ (8) ] (2x+1)^{[ (9) ]} (3x-2)^{-1 [ (10) ]}$

積の微分公式より、

$((2x+1)^{0.3} (3x-2)^{0.4})' = (2x+1)^{0.3} ((3x-2)^{0.4})' + ((2x+1)^{0.3})' (3x-2)^{0.4}$

$= (2x+1)^{0.3} (0.4 (3x-2)^{-0.6} (3)) + (0.3 (2x+1)^{-0.7} (2)) (3x-2)^{0.4}$

$= 1.2 (2x+1)^{0.3} (3x-2)^{-0.6} + 0.6 (2x+1)^{-0.7} (3x-2)^{0.4}$

$= 1.2 (2x+1)^{0.3} (3x-2)^{-0.6} + 0.6 (2x+1)^{-0.7} (3x-2)^{0.4}$

$= 0.6 (2x+1)^{-0.7} (3x-2)^{-0.6} (2 (2x+1) + (3x-2))$

$= 0.6 (2x+1)^{-0.7} (3x-2)^{-0.6} (4x+2+3x-2)$

$= 0.6 (2x+1)^{-0.7} (3x-2)^{-0.6} (7x)$

$= 0.6(2x+1)^{-0.7}(3x-2)^{0.4} + 1.2(2x+1)^{0.3}(3x-2)^{-0.6}$

この式と与えられた式を比較すると,

$5 = 0.6, 6 = 0.7, 7 = 0.4, 8 = 1.2, 9 = 0.3, 10 = 0.6$ となります。

4. $(\frac{-4x+1}{3x+2})' = -\frac{ [ (11) ] }{(3x+2)^2}$ について

商の微分公式を用いると、

$(\frac{-4x+1}{3x+2})' = \frac{(-4)(3x+2) - (-4x+1)(3)}{(3x+2)^2} = \frac{-12x-8+12x-3}{(3x+2)^2} = \frac{-11}{(3x+2)^2}$

したがって、

$-\frac{ [ (11) ] }{(3x+2)^2} = \frac{-11}{(3x+2)^2}$

$11 = 11$ となります。

5. $\{(1+(1+x)^{0.7})^{0.7}\}' = [ (12) ] [\{1+ (1+x)^{[ (13) ]}\}] ^{[ (14) ]} +x)]$ 【 (15) 】

$y = (1+(1+x)^{0.7})^{0.7}$

$\frac{dy}{dx} = 0.7 (1+(1+x)^{0.7})^{-0.3} (0.7 (1+x)^{-0.3} (1))$

$= 0.49 (1+(1+x)^{0.7})^{-0.3} (1+x)^{-0.3}$

$12 = 0.49, 13 = 0.7, 14 = -0.3, 15 = -0.3$

3. 最終的な答え

1 = 3

2 = 4

3 = 2

4 = 1

5 = 0.6

6 = 0.7

7 = 0.4

8 = 1.2

9 = 0.3

10 = 0.6

11 = 11

12 = 0.49

13 = 0.7

14 = -0.3

15 = -0.3