与えられた式を微分した結果を求める問題です。ただし、微分した結果は既に分母が $(x^2 + 1)^2$ となっており、分子がいくつかの項に分解されています。求めるべきは、その分子の $x^2$, $x$, および定数項の係数です。つまり、[ (5) ], [ (6) ], [ (7) ] に入る数を求める問題です。 与えられた式は、 $$ \left\{ \frac{4x - 1}{x^2 + 1} \right\}' = \frac{ (-x^2 + 2x + 1) - [ (5) ] x^2 + [ (6) ] x + [ (7) ]}{(x^2 + 1)^2} $$ 微分を計算して、[ (5) ], [ (6) ], [ (7) ] を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式を微分した結果を求める問題です。ただし、微分した結果は既に分母が $(x^2 + 1)^2$ となっており、分子がいくつかの項に分解されています。求めるべきは、その分子の $x^2$, $x$, および定数項の係数です。つまり、[ (5) ], [ (6) ], [ (7) ] に入る数を求める問題です。

与えられた式は、

$$$$

\left\{ \frac{4x - 1}{x^2 + 1} \right\}' = \frac{ (-x^2 + 2x + 1) - [ (5) ] x^2 + [ (6) ] x + [ (7) ]}{(x^2 + 1)^2}

$$$$

微分を計算して、[ (5) ], [ (6) ], [ (7) ] を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分します。商の微分公式を使います。

$$$$

\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

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$u = 4x - 1$ と $v = x^2 + 1$ とおくと、$u' = 4$、$v' = 2x$ です。

したがって、

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\left( \frac{4x - 1}{x^2 + 1} \right)' = \frac{4(x^2 + 1) - (4x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}

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分子を計算します。

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4(x^2 + 1) - (4x - 1)(2x) = 4x^2 + 4 - (8x^2 - 2x) = 4x^2 + 4 - 8x^2 + 2x = -4x^2 + 2x + 4

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したがって、

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\left( \frac{4x - 1}{x^2 + 1} \right)' = \frac{-4x^2 + 2x + 4}{(x^2 + 1)^2}

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問題で与えられた式と比較すると

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\frac{-4x^2 + 2x + 4}{(x^2 + 1)^2} = \frac{ (-x^2 + 2x + 1) - [ (5) ] x^2 + [ (6) ] x + [ (7) ]}{(x^2 + 1)^2}

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分子を比較します。

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-4x^2 + 2x + 4 = -x^2 + 2x + 1 - [ (5) ] x^2 + [ (6) ] x + [ (7) ]

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-4x^2 + 2x + 4 = (-1 - [(5)])x^2 + (2 + [(6)])x + (1 + [(7)])

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各項の係数を比較して、以下の連立方程式を得ます。

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-4 = -1 - [(5)] \\

2 = 2 + [(6)] \\

4 = 1 + [(7)]

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これから、

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[(5)] = -1 + 4 = 3 \\

[(6)] = 2 - 2 = 0 \\

[(7)] = 4 - 1 = 3

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3. 最終的な答え

[ (5) ] = 3

[ (6) ] = 0

[ (7) ] = 3