$\sin{\frac{27\pi}{4}}$, $\cos{\frac{27\pi}{4}}$, $\tan{\frac{27\pi}{4}}$ の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

$\sin{\frac{27\pi}{4}}$, $\cos{\frac{27\pi}{4}}$, $\tan{\frac{27\pi}{4}}$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{27\pi}{4}$ を $2\pi$ の整数倍と、それより小さい角度の和の形に変形する。

$\frac{27}{4} = 6 + \frac{3}{4}$ なので、

$\frac{27\pi}{4} = 6\pi + \frac{3\pi}{4} = 3(2\pi) + \frac{3\pi}{4}$ となる。

したがって、

$\sin{\frac{27\pi}{4}} = \sin{\frac{3\pi}{4}}$,

$\cos{\frac{27\pi}{4}} = \cos{\frac{3\pi}{4}}$,

$\tan{\frac{27\pi}{4}} = \tan{\frac{3\pi}{4}}$

である。

$\frac{3\pi}{4}$ は第二象限の角で、基準となる角度は $\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ である。

$\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan{\frac{\pi}{4}} = 1$ である。

第二象限では、sin は正、cos は負、tan は負であるから、

$\sin{\frac{3\pi}{4}} = \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$,

$\cos{\frac{3\pi}{4}} = -\cos{\frac{\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$,

$\tan{\frac{3\pi}{4}} = -\tan{\frac{\pi}{4}} = -1$

となる。

3. 最終的な答え

$\sin{\frac{27\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos{\frac{27\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan{\frac{27\pi}{4}} = -1$