関数 $f(x) = \log(1+x)$ を、マクローリンの定理を用いて $n=4$ まで展開する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(1+x)$ を、マクローリンの定理を用いて $n=4$ まで展開する。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、テイラー展開の中心を $a=0$ とした場合であり、以下の式で表される。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots$

関数 $f(x) = \log(1+x)$ の $n=4$ までのマクローリン展開を求めるためには、$f(x)$ の1階から4階までの導関数を計算し、$x=0$ における値を求める必要がある。

* $f(x) = \log(1+x)$

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

* $f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

* $f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

* $f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

$f'''(0) = \frac{2}{(1+0)^3} = 2$

* $f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$

$f^{(4)}(0) = -\frac{6}{(1+0)^4} = -6$

これらの値をマクローリン展開の式に代入する。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4$

$f(x) \approx 0 + 1\cdot x + \frac{-1}{2}x^2 + \frac{2}{6}x^3 + \frac{-6}{24}x^4$

$f(x) \approx x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4$

3. 最終的な答え

$f(x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}$