次の不等式を解きます。 $\log_{\frac{1}{3}}(x-1) > \log_3 x$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$\log_{\frac{1}{3}}(x-1) > \log_3 x$

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件を確認します。

$x-1 > 0$ より $x > 1$

$x > 0$

したがって、$x > 1$です。

次に、底を3に統一します。

$\log_{\frac{1}{3}}(x-1) = \frac{\log_3 (x-1)}{\log_3 \frac{1}{3}} = \frac{\log_3 (x-1)}{-1} = -\log_3 (x-1)$

したがって、与えられた不等式は

$-\log_3 (x-1) > \log_3 x$

$\log_3 (x-1) < -\log_3 x$

$\log_3 (x-1) < \log_3 x^{-1}$

$\log_3 (x-1) < \log_3 \frac{1}{x}$

底が3で1より大きいので、対数の大小関係と真数の大小関係は一致します。

$x-1 < \frac{1}{x}$

$x(x-1) < 1$

$x^2 - x < 1$

$x^2 - x - 1 < 0$

$x^2 - x - 1 = 0$ の解は、$x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、$x^2 - x - 1 < 0$ を満たす $x$ の範囲は $\frac{1-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

真数条件 $x>1$ と合わせて、

$1 < x < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx \frac{1+2.236}{2} = \frac{3.236}{2} = 1.618$

3. 最終的な答え

$1 < x < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$