曲線 $y = 2x^2$ 上の点 $(1, 2)$ における接線に垂直な直線（法線）の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = 2x^2$ 上の点 $(1, 2)$ における接線に垂直な直線（法線）の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 曲線 $y = 2x^2$ を微分して、接線の傾きを求める。

$y' = \frac{dy}{dx} = 4x$

ステップ2: 点 $(1, 2)$ における接線の傾きを求める。

$x = 1$ を $y' = 4x$ に代入する。

$y'(1) = 4(1) = 4$

ステップ3: 法線の傾きを求める。

接線と法線は直交するので、法線の傾きは接線の傾きの逆数の負数となる。

法線の傾き $= -\frac{1}{4}$

ステップ4: 点 $(1, 2)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{4}$ の直線の方程式を求める。

点傾きの公式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を使用する。ここで、$(x_1, y_1) = (1, 2)$ であり、$m = -\frac{1}{4}$ である。

$y - 2 = -\frac{1}{4}(x - 1)$

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4} + 2$

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{4}$

または

$x + 4y - 9 = 0$