曲線 $x = \sin\theta$, $y = \sin2\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)とx軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $x = \sin\theta$, $y = \sin2\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)とx軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。

2. 解き方の手順

面積$S$は積分を用いて以下のように表せる。

$S = \int_0^1 y \, dx$

$x = \sin\theta$より、$dx = \cos\theta \, d\theta$となる。

$x$が$0$から$1$に変化するとき、$\theta$は$0$から$\frac{\pi}{2}$に変化する。

したがって、積分範囲は$0$から$\frac{\pi}{2}$になる。

$y = \sin2\theta$だから、

$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin2\theta \cdot \cos\theta \, d\theta$

$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$だから、

$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sin\theta\cos\theta \cdot \cos\theta \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sin\theta\cos^2\theta \, d\theta$

ここで、$t = \cos\theta$と置換すると、$dt = -\sin\theta \, d\theta$となる。

$\theta$が$0$のとき、$t = \cos0 = 1$。

$\theta$が$\frac{\pi}{2}$のとき、$t = \cos\frac{\pi}{2} = 0$。

したがって、

$S = \int_1^0 2t^2 (-dt) = -2 \int_1^0 t^2 \, dt = 2 \int_0^1 t^2 \, dt$

$S = 2 \left[ \frac{1}{3} t^3 \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{3} (1)^3 - \frac{1}{3} (0)^3 \right) = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{2}{3}$