曲線 $x = \sin{\theta}$ と $y = \sin{2\theta}$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $x = \sin{\theta}$ と $y = \sin{2\theta}$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

面積 $S$ は、$S = \int_0^1 y \, dx$ で表されます。

$x = \sin{\theta}$ より $dx = \cos{\theta} d\theta$ となります。

また、$\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ であり、$\theta$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ に変化するとき、$x$ は $0$ から $1$ に変化します。

したがって、

$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{2\theta} \cos{\theta} \, d\theta$

$\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$ であるから、

$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sin{\theta}\cos^2{\theta} \, d\theta$

ここで、$t = \cos{\theta}$ とおくと、$dt = -\sin{\theta} d\theta$ となり、積分範囲は $\theta: 0 \to \frac{\pi}{2}$ に対して $t: 1 \to 0$ となります。

よって、

$S = \int_1^0 2t^2 (-dt) = 2 \int_0^1 t^2 \, dt = 2 \left[ \frac{1}{3} t^3 \right]_0^1 = 2 \left(\frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{2}{3}$