定積分 $\int_{0}^{3} |2x-4| dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{3} |2x-4| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の中身が正になる範囲と負になる範囲を調べます。

$2x - 4 = 0$ を解くと、$x = 2$ となります。

$x < 2$ のとき、$2x - 4 < 0$ なので $|2x-4| = -(2x-4) = 4-2x$ となります。

$x \ge 2$ のとき、$2x - 4 \ge 0$ なので $|2x-4| = 2x-4$ となります。

したがって、積分区間を $0 \le x \le 2$ と $2 \le x \le 3$ に分けて計算します。

$\int_{0}^{3} |2x-4| dx = \int_{0}^{2} (4-2x) dx + \int_{2}^{3} (2x-4) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{2} (4-2x) dx = [4x - x^2]_{0}^{2} = (4(2) - (2)^2) - (4(0) - (0)^2) = 8 - 4 - 0 = 4$

$\int_{2}^{3} (2x-4) dx = [x^2 - 4x]_{2}^{3} = ((3)^2 - 4(3)) - ((2)^2 - 4(2)) = (9 - 12) - (4 - 8) = -3 - (-4) = -3 + 4 = 1$

したがって、

$\int_{0}^{3} |2x-4| dx = 4 + 1 = 5$

3. 最終的な答え

5