$p>0$、 $q>0$のとき、ベータ関数 $B(p, q) = \int_{0}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ が存在することを示せ。ただし、積分区間を分割した $\int_{0}^{1/2} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx + \int_{1/2}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ の右辺の2つの積分が存在することを示せばよい。

1. 問題の内容

$p>0$、 $q>0$のとき、ベータ関数 $B(p, q) = \int_{0}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ が存在することを示せ。ただし、積分区間を分割した $\int_{0}^{1/2} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx + \int_{1/2}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ の右辺の2つの積分が存在することを示せばよい。

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1/2} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ の存在を示す。

積分区間$[0, 1/2]$において、$1-x$ は $1/2 \le 1-x \le 1$ を満たすから、$(1-x)^{q-1}$ は有界である。したがって、$x^{p-1}$ の積分可能性を調べればよい。$p > 0$ なので、$x^{p-1}$ は $x=0$ で特異点を持つ可能性がある。

$\int_{0}^{1/2} x^{p-1} dx$ を考える。

$p \ne 1$ のとき、$\int x^{p-1} dx = \frac{x^{p}}{p}$ であるから、

$\int_{0}^{1/2} x^{p-1} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{1/2} x^{p-1} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{x^p}{p} \right]_{\epsilon}^{1/2} = \lim_{\epsilon \to 0} \left( \frac{(1/2)^p}{p} - \frac{\epsilon^p}{p} \right)$

$p>0$ のとき、$\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon^p = 0$ であるから、$\int_{0}^{1/2} x^{p-1} dx = \frac{(1/2)^p}{p}$ となり、積分は存在する。

$p = 1$ のとき、$\int x^{p-1} dx = \int 1 dx = \ln x$ であるから、$\int_{0}^{1/2} x^{p-1} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{1/2} \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \ln x \right]_{\epsilon}^{1/2} = \lim_{\epsilon \to 0} \left( \ln (1/2) - \ln \epsilon \right)$

$\lim_{\epsilon \to 0} \ln \epsilon = -\infty$ であるから、積分は発散する。

しかし、$p>0$ より、ある定数 $M>0$ が存在して、区間 $[0, 1/2]$ において $|(1-x)^{q-1}| < M$ が成り立つ。したがって、$\int_{0}^{1/2} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ の存在を調べるには、$\int_{0}^{1/2} x^{p-1} dx$ の存在を調べれば十分である。$p>0$ であるから、この積分は存在する。

(2) $\int_{1/2}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ の存在を示す。

積分区間$[1/2, 1]$において、$x$ は $1/2 \le x \le 1$ を満たすから、$x^{p-1}$ は有界である。したがって、$(1-x)^{q-1}$ の積分可能性を調べればよい。$q > 0$ なので、$(1-x)^{q-1}$ は $x=1$ で特異点を持つ可能性がある。

$\int_{1/2}^{1} (1-x)^{q-1} dx$ を考える。$u = 1-x$ とおくと、$du = -dx$ であり、$x = 1/2$ のとき $u = 1/2$、$x=1$ のとき $u=0$ であるから、

$\int_{1/2}^{1} (1-x)^{q-1} dx = \int_{1/2}^{0} u^{q-1} (-du) = \int_{0}^{1/2} u^{q-1} du$

これは (1) と同様に、 $q>0$ であるから、$\int_{0}^{1/2} u^{q-1} du = \frac{(1/2)^q}{q}$ となり、積分は存在する。

したがって、$\int_{1/2}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ も存在する。

(1) と (2) より、$\int_{0}^{1/2} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx + \int_{1/2}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx = \int_{0}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ は存在する。

3. 最終的な答え

$p>0$、$q>0$のとき、ベータ関数 $B(p, q) = \int_{0}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ は存在する。