放物線 $y = -x^2$ と直線 $y = -x - 2$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2$ と直線 $y = -x - 2$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つのグラフの交点の $x$ 座標を求めます。

$$-x^2 = -x - 2$$

$$x^2 - x - 2 = 0$$

$$(x-2)(x+1) = 0$$

よって、$x = 2, -1$ となります。

したがって、積分範囲は $-1 \leq x \leq 2$ です。

次に、積分する関数を決定します。積分範囲において、$y = -x - 2$ の方が $y = -x^2$ よりも下にあるため、積分する関数は

$$-x^2 - (-x - 2) = -x^2 + x + 2$$

となります。

したがって、面積 $S$ は

$$S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$$

$$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_{-1}^{2}$$

$$S = \left( -\frac{1}{3}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) \right) - \left( -\frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 + 2(-1) \right)$$

$$S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$$

$$S = -\frac{8}{3} + 6 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2$$

$$S = -\frac{9}{3} - \frac{1}{2} + 8$$

$$S = -3 - \frac{1}{2} + 8$$

$$S = 5 - \frac{1}{2}$$

$$S = \frac{10}{2} - \frac{1}{2}$$

$$S = \frac{9}{2}$$

3. 最終的な答え

$S = \frac{9}{2}$