不定積分 $\int (x-1)\sqrt{x+2} \, dx$ を計算します。置換積分 $t = x+2$ を用います。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (x-1)\sqrt{x+2} \, dx$ を計算します。置換積分 $t = x+2$ を用います。

2. 解き方の手順

まず、$t = x+2$ と置換します。これにより、$x = t - 2$ であり、$dx = dt$ となります。

積分は以下のように変換されます。

$$\int (x-1)\sqrt{x+2} \, dx = \int ((t-2)-1)\sqrt{t} \, dt = \int (t-3)\sqrt{t} \, dt$$

ここで、$\sqrt{t} = t^{1/2}$ なので、

$$\int (t-3)t^{1/2} \, dt = \int (t^{3/2} - 3t^{1/2}) \, dt$$

この積分を計算します。

$$\int t^{3/2} \, dt = \frac{t^{5/2}}{5/2} + C_1 = \frac{2}{5} t^{5/2} + C_1$$

$$\int 3t^{1/2} \, dt = 3\int t^{1/2} \, dt = 3\frac{t^{3/2}}{3/2} + C_2 = 2t^{3/2} + C_2$$

したがって、

$$\int (t^{3/2} - 3t^{1/2}) \, dt = \frac{2}{5}t^{5/2} - 2t^{3/2} + C$$

ここで、$t = x+2$ を代入して元の変数に戻します。

$$\frac{2}{5}(x+2)^{5/2} - 2(x+2)^{3/2} + C = \frac{2}{5}(x+2)^{5/2} - 2(x+2)^{3/2} + C$$

共通因子 $(x+2)^{3/2}$ でくくると、

$$(x+2)^{3/2} \left( \frac{2}{5}(x+2) - 2 \right) + C = (x+2)^{3/2} \left( \frac{2}{5}x + \frac{4}{5} - \frac{10}{5} \right) + C = (x+2)^{3/2} \left( \frac{2}{5}x - \frac{6}{5} \right) + C$$

$$= \frac{2}{5}(x-3)(x+2)^{3/2} + C$$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}(x-3)(x+2)^{3/2} + C$