曲線 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

回転体の体積 $V$ は、次の式で与えられます。

$V = \pi \int_0^1 y^2 dx$

パラメータ表示された曲線なので、$dx = \frac{dx}{dt} dt$ を用いて、積分変数を $x$ から $t$ に変換します。

$x = \sin t$ より、$dx = \cos t dt$ となります。

$t = 0$ のとき、$x = \sin 0 = 0$。

$t = \frac{\pi}{2}$ のとき、$x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$。

したがって、積分の範囲は $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ となります。

$y = \sin 2t$ なので、$y^2 = (\sin 2t)^2$ となります。

$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ なので、$y^2 = (2 \sin t \cos t)^2 = 4 \sin^2 t \cos^2 t$ となります。

したがって、回転体の体積 $V$ は、

$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (4 \sin^2 t \cos^2 t) (\cos t) dt$

$V = 4\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cos^3 t dt$

ここで、$\cos^3 t = \cos t (1 - \sin^2 t)$ なので、

$V = 4\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cos t (1 - \sin^2 t) dt$

$V = 4\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 t \cos t - \sin^4 t \cos t) dt$

$u = \sin t$ と置換すると、$du = \cos t dt$。

$t = 0$ のとき、$u = \sin 0 = 0$。

$t = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \sin \frac{\pi}{2} = 1$。

$V = 4\pi \int_0^1 (u^2 - u^4) du$

$V = 4\pi \left[ \frac{1}{3}u^3 - \frac{1}{5}u^5 \right]_0^1$

$V = 4\pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)$

$V = 4\pi \left( \frac{5 - 3}{15} \right)$

$V = 4\pi \left( \frac{2}{15} \right)$

$V = \frac{8\pi}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{8\pi}{15}$