2つの曲線 $y = x^2$ と $xy = 1$ に共通な接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = x^2$ と $xy = 1$ に共通な接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 曲線 $y=x^2$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線を求める。

$y=x^2$ を $x$ で微分すると、$\frac{dy}{dx} = 2x$ となる。

したがって、点 $(t, t^2)$ における接線の傾きは $2t$ である。

点 $(t, t^2)$ における接線の方程式は、

$y - t^2 = 2t(x - t)$

$y = 2tx - 2t^2 + t^2$

$y = 2tx - t^2$

ステップ2: 曲線 $xy=1$ 上の点 $(s, \frac{1}{s})$ における接線を求める。

$xy = 1$ を $y$ について解くと、$y = \frac{1}{x}$

$y = \frac{1}{x}$ を $x$ で微分すると、$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ となる。

したがって、点 $(s, \frac{1}{s})$ における接線の傾きは $-\frac{1}{s^2}$ である。

点 $(s, \frac{1}{s})$ における接線の方程式は、

$y - \frac{1}{s} = -\frac{1}{s^2}(x - s)$

$y = -\frac{1}{s^2}x + \frac{1}{s} + \frac{1}{s}$

$y = -\frac{1}{s^2}x + \frac{2}{s}$

ステップ3: 2つの接線が一致するための条件を求める。

2つの接線が一致するためには、傾きと切片がそれぞれ等しくなければならない。

したがって、以下の連立方程式が成り立つ。

$2t = -\frac{1}{s^2}$

$-t^2 = \frac{2}{s}$

ステップ4: 連立方程式を解く。

$2t = -\frac{1}{s^2}$ より、$t = -\frac{1}{2s^2}$

$-t^2 = \frac{2}{s}$ に代入すると、

$-\left(-\frac{1}{2s^2}\right)^2 = \frac{2}{s}$

$-\frac{1}{4s^4} = \frac{2}{s}$

$-1 = 8s^3$

$s^3 = -\frac{1}{8}$

$s = -\frac{1}{2}$

$t = -\frac{1}{2s^2} = -\frac{1}{2(-\frac{1}{2})^2} = -\frac{1}{2(\frac{1}{4})} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$

ステップ5: 共通接線の方程式を求める。

$y = 2tx - t^2$ に $t = -2$ を代入すると、

$y = 2(-2)x - (-2)^2$

$y = -4x - 4$

ステップ6: 検算

$y = -\frac{1}{s^2}x + \frac{2}{s}$ に $s = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$y = -\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}x + \frac{2}{-\frac{1}{2}}$

$y = -4x - 4$

両方の接線の方程式が一致することを確認できた。

3. 最終的な答え

共通接線の方程式は $y = -4x - 4$ である。