与えられた積分方程式を満たす整式 $f(x)$ と実数 $C$ を求める問題です。積分方程式は $\int_{0}^{x} f(y) dy + \int_{0}^{1} (x+y)^2 f(y) dy = x^2 + C$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた積分方程式を満たす整式 $f(x)$ と実数 $C$ を求める問題です。積分方程式は

$\int_{0}^{x} f(y) dy + \int_{0}^{1} (x+y)^2 f(y) dy = x^2 + C$

で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分方程式の両辺を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} \left[ \int_{0}^{x} f(y) dy + \int_{0}^{1} (x+y)^2 f(y) dy \right] = \frac{d}{dx} (x^2 + C)$

左辺の第1項は、微積分学の基本定理より $f(x)$ となります。

左辺の第2項は、

$\frac{d}{dx} \left[ \int_{0}^{1} (x+y)^2 f(y) dy \right] = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial x} (x+y)^2 f(y) dy = \int_{0}^{1} 2(x+y) f(y) dy$

となります。

右辺は $2x$ となります。

したがって、微分した後の式は

$f(x) + \int_{0}^{1} 2(x+y) f(y) dy = 2x$

となります。

この式を整理すると、

$f(x) + 2x \int_{0}^{1} f(y) dy + 2 \int_{0}^{1} y f(y) dy = 2x$

となります。

ここで、$A = \int_{0}^{1} f(y) dy$ , $B = \int_{0}^{1} y f(y) dy$ とおくと、$A$ と $B$ は定数なので、

$f(x) + 2Ax + 2B = 2x$

となり、$f(x)$ は1次式 $f(x) = (2-2A)x - 2B$ と表せます。

$f(x) = px + q$ (ただし、$p=2-2A, q=-2B$) とおいて、A, Bを求める。

$A = \int_{0}^{1} f(y) dy = \int_{0}^{1} (py + q) dy = \left[ \frac{p}{2} y^2 + qy \right]_{0}^{1} = \frac{p}{2} + q$

$B = \int_{0}^{1} y f(y) dy = \int_{0}^{1} y (py + q) dy = \int_{0}^{1} (py^2 + qy) dy = \left[ \frac{p}{3} y^3 + \frac{q}{2} y^2 \right]_{0}^{1} = \frac{p}{3} + \frac{q}{2}$

$f(x) = (2-2A)x - 2B$ に $A = \frac{p}{2} + q$ , $B = \frac{p}{3} + \frac{q}{2}$ を代入すると、

$f(x) = (2 - 2(\frac{p}{2} + q))x - 2(\frac{p}{3} + \frac{q}{2}) = (2 - p - 2q)x - \frac{2}{3}p - q$

これは $f(x) = px + q$ と同じなので、

$p = 2 - p - 2q$ , $q = - \frac{2}{3}p - q$

$2p + 2q = 2$ , $\frac{2}{3}p + 2q = 0$

$p + q = 1$ , $\frac{1}{3}p + q = 0$

$p - \frac{1}{3}p = 1$

$\frac{2}{3}p = 1$ より $p = \frac{3}{2}$

$q = 1 - p = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}$

よって、$f(x) = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}$

次に、$C$ を求める。

$\int_{0}^{x} f(y) dy + \int_{0}^{1} (x+y)^2 f(y) dy = x^2 + C$

$x = 0$ を代入すると、

$\int_{0}^{0} f(y) dy + \int_{0}^{1} y^2 f(y) dy = 0^2 + C$

$\int_{0}^{1} y^2 (\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}) dy = C$

$\int_{0}^{1} (\frac{3}{2}y^3 - \frac{1}{2}y^2) dy = C$

$\left[ \frac{3}{8} y^4 - \frac{1}{6} y^3 \right]_{0}^{1} = C$

$C = \frac{3}{8} - \frac{1}{6} = \frac{9 - 4}{24} = \frac{5}{24}$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$

$C = \frac{5}{24}$