与えられた領域 $E_2 = \{(r, \theta) | 0 \le r \le 1, \frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{3\pi}{2}\}$ において、二重積分 $\iint_{E_2} xy \, dx \, dy$ を計算する問題です。ただし、$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ という変数変換を行います。

1. 問題の内容

与えられた領域 $E_2 = \{(r, \theta) | 0 \le r \le 1, \frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{3\pi}{2}\}$ において、二重積分 $\iint_{E_2} xy \, dx \, dy$ を計算する問題です。ただし、$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ という変数変換を行います。

2. 解き方の手順

まず、変数変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を行います。ヤコビアンは $r$ となります。

したがって、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ となります。

積分範囲は、$0 \le r \le 1$、$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{3\pi}{2}$ です。

被積分関数は、$xy = r\cos\theta \cdot r\sin\theta = r^2 \cos\theta \sin\theta$ となります。

よって、二重積分は以下のようになります。

$\iint_{E_2} xy \, dx \, dy = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \int_0^1 (r^2 \cos\theta \sin\theta) r \, dr \, d\theta$

$= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \int_0^1 r^3 \cos\theta \sin\theta \, dr \, d\theta$

積分を分離します。

$\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{1}{4} r^4 \right]_0^1 = \frac{1}{4}$

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos\theta \sin\theta \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \sin\theta \cos\theta \, d\theta$

$u = \sin\theta$ と置換すると、$du = \cos\theta \, d\theta$ となります。

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \sin\frac{\pi}{2} = 1$

$\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$u = \sin\frac{3\pi}{2} = -1$

$\int_1^{-1} u \, du = \left[ \frac{1}{2} u^2 \right]_1^{-1} = \frac{1}{2} ((-1)^2 - 1^2) = \frac{1}{2} (1 - 1) = 0$

したがって、

$\iint_{E_2} xy \, dx \, dy = \left( \int_0^1 r^3 \, dr \right) \left( \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos\theta \sin\theta \, d\theta \right) = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

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