定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+9}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+9}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{dx}{x^2+9}$ を計算します。この積分は $\frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a})$ の形になることを利用します。

$x=3\tan\theta$ と置換すると、$dx = 3\sec^2\theta d\theta$ となります。

$$\int \frac{dx}{x^2+9} = \int \frac{3\sec^2\theta}{9\tan^2\theta + 9} d\theta = \int \frac{3\sec^2\theta}{9(\tan^2\theta + 1)} d\theta = \int \frac{3\sec^2\theta}{9\sec^2\theta} d\theta = \int \frac{1}{3} d\theta = \frac{1}{3}\theta + C$$

ここで、$\tan\theta = \frac{x}{3}$ なので、$\theta = \arctan(\frac{x}{3})$ となります。したがって、

$$\int \frac{dx}{x^2+9} = \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) + C$$

次に、定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+9}$ を計算します。

$$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+9} = \left[ \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) - \frac{1}{3} \arctan(\frac{-\sqrt{3}}{3})$$

$\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$ であり、$\arctan(\frac{-\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$ なので、

$$\frac{1}{3} \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) - \frac{1}{3} \arctan(\frac{-\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{3} (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{18} = \frac{2\pi}{18} = \frac{\pi}{9}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{9}$