曲線上の2点A, B間において、直線ABに平行な接線の接点の座標を求める問題です。 (1) $y = \sin x$, $A(0, 0)$, $B(\pi, 0)$ (2) $y = \frac{1}{x}$, $A(1, 1)$, $B(2, \frac{1}{2})$

1. 問題の内容

曲線上の2点A, B間において、直線ABに平行な接線の接点の座標を求める問題です。

(1) $y = \sin x$, $A(0, 0)$, $B(\pi, 0)$

(2) $y = \frac{1}{x}$, $A(1, 1)$, $B(2, \frac{1}{2})$

2. 解き方の手順

(1)

まず、直線ABの傾きを求める。A(0, 0), B($\pi$, 0)より、傾きは

$m = \frac{0 - 0}{\pi - 0} = 0$

次に、$y = \sin x$ を微分する。

$y' = \cos x$

接線の傾きが直線ABの傾きと等しいので、

$\cos x = 0$

$0 < x < \pi$の範囲でこれを満たすxは、

$x = \frac{\pi}{2}$

このとき、$y = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

よって、接点の座標は$(\frac{\pi}{2}, 1)$

(2)

まず、直線ABの傾きを求める。A(1, 1), B(2, $\frac{1}{2}$)より、傾きは

$m = \frac{\frac{1}{2} - 1}{2 - 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}$

次に、$y = \frac{1}{x}$ を微分する。

$y' = -\frac{1}{x^2}$

接線の傾きが直線ABの傾きと等しいので、

$-\frac{1}{x^2} = -\frac{1}{2}$

$x^2 = 2$

$1 < x < 2$の範囲でこれを満たすxは、

$x = \sqrt{2}$

このとき、$y = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、接点の座標は$(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{\pi}{2}, 1)$

(2) $(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$