関数 $f(x) = x\cos x$ について、区間 $(0, \frac{\pi}{2})$ において、$f'(x)=0$ を満たす $x$ の値が存在することを示す問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x\cos x$ について、区間 $(0, \frac{\pi}{2})$ において、$f'(x)=0$ を満たす $x$ の値が存在することを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = x\cos x$ なので、積の微分公式を用いると、

$f'(x) = (x)'\cos x + x(\cos x)'$

$f'(x) = \cos x - x\sin x$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ が区間 $(0, \frac{\pi}{2})$ に存在することを示します。

中間値の定理を利用します。中間値の定理を使うためには、$f'(x)$ が連続関数であり、区間の端点における $f'(x)$ の符号が異なっている必要があります。

$f'(x)$ は $\cos x$ と $\sin x$ を含むので連続関数です。

区間 $(0, \frac{\pi}{2})$ の端点に近い値を考えます。

$f'(0) = \cos 0 - 0\sin 0 = 1 > 0$

$f'(\frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\sin \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2}(1) = -\frac{\pi}{2} < 0$

$f'(0) > 0$ かつ $f'(\frac{\pi}{2}) < 0$ であり、$f'(x)$ は連続関数なので、中間値の定理より、区間 $(0, \frac{\pi}{2})$ において $f'(x) = 0$ となる $x$ が少なくとも一つ存在します。

3. 最終的な答え

区間 $(0, \frac{\pi}{2})$ において $f'(x) = 0$ を満たす $x$ の値が存在する。