重積分 $\iint_{D_2} 2\log(1+x^2+y^2) dxdy$ の値を求める問題です。ここで、$D_2 = \{(x,y) | 0 \le x^2+y^2 \le 1\}$ です。

1. 問題の内容

重積分 $\iint_{D_2} 2\log(1+x^2+y^2) dxdy$ の値を求める問題です。ここで、$D_2 = \{(x,y) | 0 \le x^2+y^2 \le 1\}$ です。

2. 解き方の手順

まず、極座標変換を行います。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、$x^2+y^2 = r^2$ となり、$dxdy = rdrd\theta$ となります。

領域 $D_2$ は、$0 \le r \le 1$ かつ $0 \le \theta \le 2\pi$ となります。

したがって、重積分は以下のように書き換えられます。

$\iint_{D_2} 2\log(1+x^2+y^2) dxdy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 2\log(1+r^2) rdrd\theta$

まず、$r$ に関する積分を計算します。

$I = \int_{0}^{1} 2\log(1+r^2) rdr$

$u = 1+r^2$ とおくと、$du = 2rdr$ であり、$r=0$ のとき $u=1$、$r=1$ のとき $u=2$ となります。

したがって、

$I = \int_{1}^{2} \log(u) du$

部分積分を用いて計算します。

$I = [u\log u]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} u \cdot \frac{1}{u} du = [u\log u]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} 1 du$

$I = [u\log u - u]_{1}^{2} = (2\log 2 - 2) - (1\log 1 - 1) = 2\log 2 - 2 - 0 + 1 = 2\log 2 - 1$

次に、$\theta$ に関する積分を計算します。

$\int_{0}^{2\pi} (2\log 2 - 1) d\theta = (2\log 2 - 1) \int_{0}^{2\pi} d\theta = (2\log 2 - 1) [\theta]_{0}^{2\pi} = (2\log 2 - 1) (2\pi) = (4\log 2 - 2)\pi$

3. 最終的な答え

$(4\log 2 - 2)\pi = 2\pi(2\log 2 - 1)$