1. 以下の曲線または直線で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。 (1) $y = 2 - x^2 (x \ge 0), x = 0, y = 0$ (2) $y = \sin x, y = - \sin x (0 \le x \le \pi)$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

1. 以下の曲線または直線で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

(1) $y = 2 - x^2 (x \ge 0), x = 0, y = 0$

(2) $y = \sin x, y = - \sin x (0 \le x \le \pi)$

2. 以下の曲線の長さを求めよ。

(1) $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} (3 \le x \le 8)$

(2) $y = \frac{x^2}{2} (0 \le x \le 1)$

2. 解き方の手順

1.(1)

$y = 2 - x^2$ と $x=0$ と $y=0$ で囲まれた領域を $y$ 軸の周りに回転させた体積を求めます。

$y = 2 - x^2$ より $x^2 = 2 - y$ なので、$x = \sqrt{2-y}$となります。

$x$ の範囲は $x \ge 0$ より $0 \le x \le \sqrt{2}$ です。$y$ の範囲は $0 \le y \le 2$ です。

回転体の体積 $V$ は、

$$V = \int_0^2 \pi x^2 dy = \int_0^2 \pi (2-y) dy = \pi \left[ 2y - \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = \pi (4 - 2) = 2\pi$$

1.(2)

$y = \sin x$ と $y = -\sin x$ で囲まれた領域を $y$ 軸の周りに回転させた体積を求めます。

$y = \sin x$ と $y = -\sin x$ は $x = 0$ から $x = \pi$ で囲まれています。$0 \le x \le \pi$の範囲で、$y = \sin x$ は $x = \frac{\pi}{2}$ で最大値1をとり、$y = -\sin x$ は $x = \frac{\pi}{2}$ で最小値-1をとります。

体積 $V$ は、$y = \sin x$ の部分を回転させた体積から、$y = -\sin x$ の部分を回転させた体積を引いたものになります。

シェル積分を使うことを考えます。$y$軸回転なので、$x$について積分します。

$$V = 2\pi \int_0^\pi x (\sin x - (-\sin x)) dx = 4\pi \int_0^\pi x \sin x dx$$

部分積分を用います。

$u = x$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

$$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \sin x + C$$

$$V = 4\pi \left[ -x \cos x + \sin x \right]_0^\pi = 4\pi (-\pi \cos \pi + \sin \pi - (0)) = 4\pi (-\pi (-1)) = 4\pi^2$$

2.(1)

$y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ の $3 \le x \le 8$ における曲線の長さを求めます。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$$

曲線の長さ $L$ は、

$$L = \int_3^8 \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx = \int_3^8 \sqrt{1 + x} dx$$

$u = 1+x$ とすると、$du = dx$ であり、$x = 3$ のとき $u = 4$、$x = 8$ のとき $u = 9$ です。

$$L = \int_4^9 \sqrt{u} du = \int_4^9 u^{\frac{1}{2}} du = \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_4^9 = \frac{2}{3} (9^{\frac{3}{2}} - 4^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} (27 - 8) = \frac{2}{3} (19) = \frac{38}{3}$$

2.(2)

$y = \frac{x^2}{2}$ の $0 \le x \le 1$ における曲線の長さを求めます。

$$\frac{dy}{dx} = x$$

曲線の長さ $L$ は、

$$L = \int_0^1 \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx = \int_0^1 \sqrt{1 + x^2} dx$$

これは特殊な積分であり、部分積分を用いるか、双曲線関数を用いる必要があります。ここでは積分公式を用いて解きます。

$$\int \sqrt{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{1+x^2} + \sinh^{-1} x \right) + C = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{1+x^2} + \ln(x + \sqrt{x^2+1}) \right) + C$$

$$L = \frac{1}{2} \left[ x \sqrt{1+x^2} + \ln(x + \sqrt{x^2+1}) \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2}) \right)$$

3. 最終的な答え

1.(1) $2\pi$

1.(2) $4\pi^2$

2.(1) $\frac{38}{3}$

2.(2) $\frac{1}{2}(\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}))$