2重積分 $\iint_{D_2} 2 \log(1+x^2+y^2) \, dx \, dy$ の値を求めよ。積分領域 $D_2$ は $D_2 = \{(x, y) \mid 0 \le x^2 + y^2 \le 1\}$ で与えられる。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_{D_2} 2 \log(1+x^2+y^2) \, dx \, dy$ の値を求めよ。積分領域 $D_2$ は $D_2 = \{(x, y) \mid 0 \le x^2 + y^2 \le 1\}$ で与えられる。

2. 解き方の手順

この積分は、積分領域が円であるため、極座標変換を行うのが適切である。

極座標変換: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ とおく。

このとき、$x^2 + y^2 = r^2$ であり、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ となる。

積分領域 $D_2$ は、$0 \le r^2 \le 1$ より $0 \le r \le 1$、$0 \le \theta \le 2\pi$ となる。

したがって、積分は以下のようになる。

$\iint_{D_2} 2 \log(1+x^2+y^2) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 2 \log(1+r^2) \, r \, dr \, d\theta$

まず、内側の積分を計算する。

$\int_0^1 2r \log(1+r^2) \, dr$

$u = 1+r^2$ と置換すると、$du = 2r \, dr$ であり、$r=0$ のとき $u=1$、$r=1$ のとき $u=2$ となる。

$\int_1^2 \log u \, du = [u \log u - u]_1^2 = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) = 2 \log 2 - 2 - (0 - 1) = 2 \log 2 - 1$

次に、外側の積分を計算する。

$\int_0^{2\pi} (2 \log 2 - 1) \, d\theta = (2 \log 2 - 1) \int_0^{2\pi} d\theta = (2 \log 2 - 1) [ \theta ]_0^{2\pi} = (2 \log 2 - 1) (2\pi - 0) = 2\pi (2 \log 2 - 1)$

3. 最終的な答え

$2\pi(2 \log 2 - 1)$