関数 $y = \sqrt{x}$ を、微分の定義式を用いて微分します。

## 問題1：

6. $y = \sqrt{x}$ を定義に従って微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{x}$ を、微分の定義式を用いて微分します。

2. 解き方の手順

微分の定義式は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

この式に $f(x) = \sqrt{x}$ を代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$

このままでは不定形になるので、分子を有理化します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

$h \to 0$ の極限を取ります。

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

## 問題2：

7. $y = 2\sin x - \frac{\pi}{2}$ が $(-\pi, \frac{\pi}{2})$ で少なくとも1つの実数解をもつことを示せ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2\sin x - \frac{\pi}{2}$ が区間 $(-\pi, \frac{\pi}{2})$ において、少なくとも一つの実数解を持つことを示す。

2. 解き方の手順

中間値の定理を利用します。

まず、与えられた区間の端点における関数 $f(x)$ の値を計算します。

$f(-\pi) = 2\sin(-\pi) - \frac{\pi}{2} = 2(0) - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$

$f(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = 2(1) - \frac{\pi}{2} = 2 - \frac{\pi}{2}$

ここで、$\pi \approx 3.14$ より、$2 - \frac{\pi}{2} \approx 2 - \frac{3.14}{2} = 2 - 1.57 = 0.43 > 0$

したがって、$f(-\pi) < 0$ かつ $f(\frac{\pi}{2}) > 0$ です。

$f(x) = 2\sin x - \frac{\pi}{2}$ は連続関数なので、中間値の定理より、区間 $(-\pi, \frac{\pi}{2})$ において、$f(c) = 0$ となる $c$ が少なくとも1つ存在します。つまり、少なくとも1つの実数解を持ちます。

3. 最終的な答え

$f(-\pi) < 0$ かつ $f(\frac{\pi}{2}) > 0$ であり、$f(x)$ は連続関数なので、中間値の定理より、区間 $(-\pi, \frac{\pi}{2})$ で少なくとも1つの実数解を持つ。

## 問題3：

8. $y = [x]$ は $x=0$ で連続かどうか調べなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = [x]$ (ガウス記号) が $x=0$ で連続かどうかを調べます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるとは、以下の条件が全て満たされることです。

1. $f(a)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

$x=0$ において、$f(0) = [0] = 0$ なので、条件1は満たされています。

次に、$\lim_{x \to 0} [x]$ を調べます。

左側極限：$\lim_{x \to 0^-} [x] = -1$

右側極限：$\lim_{x \to 0^+} [x] = 0$

左側極限と右側極限が異なるため、$\lim_{x \to 0} [x]$ は存在しません。

したがって、条件2が満たされないため、$y = [x]$ は $x=0$ で連続ではありません。

3. 最終的な答え

$y = [x]$ は $x=0$ で連続ではない。