平均値の定理を満たす $c$ の値を求める問題です。具体的には、以下の2つの関数と区間について、$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ を満たす $c$ を求めます。 (1) $f(x) = x^3$, 区間 $[0, 3]$ (2) $f(x) = \log x$, 区間 $[1, e^2]$

1. 問題の内容

平均値の定理を満たす $c$ の値を求める問題です。具体的には、以下の2つの関数と区間について、$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ を満たす $c$ を求めます。

(1) $f(x) = x^3$, 区間 $[0, 3]$

(2) $f(x) = \log x$, 区間 $[1, e^2]$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3$ について

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2$

次に、$f(0)$ と $f(3)$ を計算します。

$f(0) = 0^3 = 0$

$f(3) = 3^3 = 27$

平均値の定理より、$f'(c) = \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0}$ を満たす $c$ を求めます。

$f'(c) = 3c^2$

$\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{27 - 0}{3 - 0} = \frac{27}{3} = 9$

よって、$3c^2 = 9$ を解きます。

$c^2 = 3$

$c = \pm\sqrt{3}$

区間 $[0, 3]$ に含まれる $c$ は $c = \sqrt{3}$ です。

(2) $f(x) = \log x$ について

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = \frac{1}{x}$

次に、$f(1)$ と $f(e^2)$ を計算します。

$f(1) = \log 1 = 0$

$f(e^2) = \log e^2 = 2$

平均値の定理より、$f'(c) = \frac{f(e^2) - f(1)}{e^2 - 1}$ を満たす $c$ を求めます。

$f'(c) = \frac{1}{c}$

$\frac{f(e^2) - f(1)}{e^2 - 1} = \frac{2 - 0}{e^2 - 1} = \frac{2}{e^2 - 1}$

よって、$\frac{1}{c} = \frac{2}{e^2 - 1}$ を解きます。

$c = \frac{e^2 - 1}{2}$

区間 $[1, e^2]$ に含まれるか確認します。$e \approx 2.718$ より、$e^2 \approx 7.389$ なので、$c = \frac{7.389 - 1}{2} = \frac{6.389}{2} \approx 3.1945$

$1 \le 3.1945 \le 7.389$ であるので、この $c$ は区間 $[1, e^2]$ に含まれます。

3. 最終的な答え

(1) $c = \sqrt{3}$

(2) $c = \frac{e^2 - 1}{2}$