(1) 媒介変数表示された曲線 $x = t^2 + 1, y = 2t - t^2 (0 \le t \le 2)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。 (2) 媒介変数表示された曲線 $x = \cos^4\theta, y = \sin^4\theta (0 \le \theta \le \frac{\pi}{2})$ と $x$ 軸, $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

(1) 媒介変数表示された曲線 $x = t^2 + 1, y = 2t - t^2 (0 \le t \le 2)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

(2) 媒介変数表示された曲線 $x = \cos^4\theta, y = \sin^4\theta (0 \le \theta \le \frac{\pi}{2})$ と $x$ 軸, $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

面積$S$は、媒介変数表示された曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積の公式から、

$S = \int_{x(0)}^{x(2)} y dx = \int_0^2 y(t) \frac{dx}{dt} dt$

と表すことができます。

まず、$\frac{dx}{dt}$を求めます。

$\frac{dx}{dt} = 2t$

次に、$y(t) \frac{dx}{dt}$を計算します。

$y(t) \frac{dx}{dt} = (2t - t^2)(2t) = 4t^2 - 2t^3$

したがって、$S$は

$S = \int_0^2 (4t^2 - 2t^3) dt = [\frac{4}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^4]_0^2 = \frac{4}{3}(2^3) - \frac{1}{2}(2^4) = \frac{32}{3} - \frac{16}{2} = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32 - 24}{3} = \frac{8}{3}$

(2)

面積 $S$ は、媒介変数表示された曲線と $x$ 軸, $y$ 軸で囲まれた部分の面積の公式から、

$S = \int_0^1 y dx = - \int_{\pi/2}^0 y(\theta) \frac{dx}{d\theta} d\theta$

と表すことができます。なぜなら、$x$は$\theta=0$の時、$1$であり、$\theta=\frac{\pi}{2}$の時、$0$になるからです。

まず、$\frac{dx}{d\theta}$を求めます。

$\frac{dx}{d\theta} = 4\cos^3\theta (-\sin\theta) = -4\cos^3\theta \sin\theta$

次に、$y(\theta) \frac{dx}{d\theta}$を計算します。

$y(\theta) \frac{dx}{d\theta} = (\sin^4\theta)(-4\cos^3\theta \sin\theta) = -4\sin^5\theta \cos^3\theta$

したがって、$S$は

$S = - \int_{\pi/2}^0 -4\sin^5\theta \cos^3\theta d\theta = 4\int_{\pi/2}^0 \sin^5\theta \cos^3\theta d\theta = -4\int_0^{\pi/2} \sin^5\theta \cos^3\theta d\theta$

ここで、$I = \int_0^{\pi/2} \sin^5\theta \cos^3\theta d\theta$とおくと、$I = \int_0^{\pi/2} \sin^5\theta \cos^2\theta \cos\theta d\theta = \int_0^{\pi/2} \sin^5\theta (1 - \sin^2\theta) \cos\theta d\theta$

$u = \sin\theta$とおくと、$du = \cos\theta d\theta$. $\theta=0$のとき、$u=0$, $\theta=\pi/2$のとき、$u=1$.

$I = \int_0^1 u^5(1 - u^2) du = \int_0^1 (u^5 - u^7) du = [\frac{u^6}{6} - \frac{u^8}{8}]_0^1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4 - 3}{24} = \frac{1}{24}$

$S = -4 (\frac{1}{24}) = \frac{1}{6}$.

絶対値をつけると、$S = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{3}$

(2) $\frac{1}{6}$