曲線 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めます。

2. 解き方の手順

回転体の体積を求める公式は、

$$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx$$

です。

今回は媒介変数 $t$ で表されているので、$dx$ を $dt$ で表します。

$x = \sin t$ なので、$dx = \frac{dx}{dt} dt = \cos t dt$ となります。

また、$y = \sin 2t$ です。

$t$ の範囲は $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ なので、そのまま積分範囲として使えます。

したがって、体積 $V$ は、

$$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2t)^2 \cos t dt$$

$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ を代入すると、

$$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2 \sin t \cos t)^2 \cos t dt = 4\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cos^3 t dt$$

ここで、$\cos^3 t = \cos^2 t \cos t = (1 - \sin^2 t) \cos t$ と変形します。

$$V = 4\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t (1 - \sin^2 t) \cos t dt$$

$\sin t = u$ と置換すると、$du = \cos t dt$ であり、$t: 0 \to \frac{\pi}{2}$ のとき $u: 0 \to 1$ となります。

$$V = 4\pi \int_{0}^{1} u^2 (1 - u^2) du = 4\pi \int_{0}^{1} (u^2 - u^4) du$$

$$V = 4\pi \left[ \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} \right]_{0}^{1} = 4\pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = 4\pi \left( \frac{5 - 3}{15} \right) = 4\pi \cdot \frac{2}{15} = \frac{8\pi}{15}$$

3. 最終的な答え

$V = \frac{8\pi}{15}$