与えられた積分 $\int \frac{5x-2}{(5x^2-4x+3)^4} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{5x-2}{(5x^2-4x+3)^4} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 5x^2 - 4x + 3$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 10x - 4 = 2(5x - 2)$ となります。

よって、$du = 2(5x - 2) dx$ より、$(5x - 2)dx = \frac{1}{2} du$ となります。

これらを積分に代入すると、

$$\int \frac{5x-2}{(5x^2-4x+3)^4} dx = \int \frac{1}{u^4} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-4} du$$

となります。

次に、$u^{-4}$ の積分を計算します。

$$\int u^{-4} du = \frac{u^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3u^3} + C$$

したがって、

$$\frac{1}{2} \int u^{-4} du = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{3u^3}\right) + C = -\frac{1}{6u^3} + C$$

最後に、$u$ を $5x^2 - 4x + 3$ に戻します。

$$-\frac{1}{6u^3} + C = -\frac{1}{6(5x^2 - 4x + 3)^3} + C$$

3. 最終的な答え

$$-\frac{1}{6(5x^2 - 4x + 3)^3} + C$$