$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \dots$ を示せ。ここで、$-\infty < x < \infty$である。

1. 問題の内容

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \dots$ を示せ。ここで、$-\infty < x < \infty$である。

2. 解き方の手順

$\cos x$ のマクローリン展開を求めることを考える。

関数 $f(x)$ のマクローリン展開は以下のように与えられる。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

ここで、$f(x) = \cos x$ とすると、

$f(x) = \cos x$

$f'(x) = -\sin x$

$f''(x) = -\cos x$

$f'''(x) = \sin x$

$f^{(4)}(x) = \cos x$

となり、これらが周期的に繰り返される。

$x = 0$ におけるこれらの値は、

$f(0) = \cos 0 = 1$

$f'(0) = -\sin 0 = 0$

$f''(0) = -\cos 0 = -1$

$f'''(0) = \sin 0 = 0$

$f^{(4)}(0) = \cos 0 = 1$

となる。したがって、マクローリン展開は以下のようになる。

$\cos x = 1 + 0 \cdot x - \frac{1}{2!} x^2 + 0 \cdot \frac{x^3}{3!} + \frac{1}{4!}x^4 + \dots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

3. 最終的な答え

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$