$\sin x$ のマクローリン展開が、以下の式で表されることを示す問題です。 $\sin x = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + \dots$ ここで、$-\infty < x < \infty$ です。

1. 問題の内容

$\sin x$ のマクローリン展開が、以下の式で表されることを示す問題です。

$\sin x = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + \dots$

ここで、$-\infty < x < \infty$ です。

2. 解き方の手順

$\sin x$ のマクローリン展開を求めるには、$\sin x$ の $x=0$ における微分係数を求める必要があります。

$\sin x$ の微分を繰り返し計算します。

* $(\sin x)' = \cos x$

* $(\sin x)'' = -\sin x$

* $(\sin x)''' = -\cos x$

* $(\sin x)'''' = \sin x$

これらの微分係数を$x=0$で評価すると、次のようになります。

* $\sin(0) = 0$

* $(\sin x)'|_{x=0} = \cos(0) = 1$

* $(\sin x)''|_{x=0} = -\sin(0) = 0$

* $(\sin x)'''|_{x=0} = -\cos(0) = -1$

* $(\sin x)''''|_{x=0} = \sin(0) = 0$

一般に、$f(x)$ のマクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \dots$

$\sin x$ のマクローリン展開は、上記の微分係数を代入することで、次のようになります。

$\sin x = 0 + \frac{1}{1!}x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 + \dots$

整理すると、

$\sin x = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

一般項は $(-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$ で表されるので、

$\sin x = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$

これは、与えられた式と同じです。$\sin x$ のマクローリン展開はすべての $x$ について収束します。したがって、$-\infty < x < \infty$ で成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\sin x = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + \dots$ （ $-\infty < x < \infty$ ）