この問題は、与えられた関数に対して、原始関数を求めたり、定積分を計算したりするものです。具体的には、以下の3つの問題があります。 1. 関数 $f(x) = x^2 - 5$ について、 (a) $F'(x) = f(x)$ となる関数 $F(x)$ を求めよ。 (b) 定積分 $\int_0^1 f(x) dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

この問題は、与えられた関数に対して、原始関数を求めたり、定積分を計算したりするものです。具体的には、以下の3つの問題があります。

1. 関数 $f(x) = x^2 - 5$ について、

(a) $F'(x) = f(x)$ となる関数 $F(x)$ を求めよ。

(b) 定積分 $\int_0^1 f(x) dx$ を求めよ。

2. 関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 + 1$ について、

(a) $F'(x) = f(x)$ となる関数 $F(x)$ を求めよ。

(b) 定積分 $\int_0^2 f(x) dx$ を求めよ。

3. 次の式の値を求めよ: $\int_0^4 (x+1)^2 dx + \int_0^4 (x-1)^2 dx$

2. 解き方の手順

問題1:

(a) $f(x) = x^2 - 5$ の原始関数 $F(x)$ を求めます。

$F(x) = \int (x^2 - 5) dx = \frac{1}{3}x^3 - 5x + C$ (Cは積分定数)

(b) 定積分 $\int_0^1 f(x) dx$ を求めます。

$\int_0^1 (x^2 - 5) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 5x \right]_0^1 = (\frac{1}{3}(1)^3 - 5(1)) - (\frac{1}{3}(0)^3 - 5(0)) = \frac{1}{3} - 5 = \frac{1 - 15}{3} = -\frac{14}{3}$

問題2:

(a) $f(x) = x^3 + 3x^2 + 1$ の原始関数 $F(x)$ を求めます。

$F(x) = \int (x^3 + 3x^2 + 1) dx = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + x + C$ (Cは積分定数)

(b) 定積分 $\int_0^2 f(x) dx$ を求めます。

$\int_0^2 (x^3 + 3x^2 + 1) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 + x^3 + x \right]_0^2 = (\frac{1}{4}(2)^4 + (2)^3 + 2) - (\frac{1}{4}(0)^4 + (0)^3 + 0) = \frac{16}{4} + 8 + 2 = 4 + 8 + 2 = 14$

問題3:

定積分の性質を利用します。

$\int_0^4 (x+1)^2 dx + \int_0^4 (x-1)^2 dx = \int_0^4 ((x+1)^2 + (x-1)^2) dx$

$(x+1)^2 + (x-1)^2 = x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1 = 2x^2 + 2$

$\int_0^4 (2x^2 + 2) dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 + 2x \right]_0^4 = (\frac{2}{3}(4)^3 + 2(4)) - (\frac{2}{3}(0)^3 + 2(0)) = \frac{2}{3}(64) + 8 = \frac{128}{3} + \frac{24}{3} = \frac{152}{3}$

3. 最終的な答え

問題1:

(a) $F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 5x + C$

(b) $-\frac{14}{3}$

問題2:

(a) $F(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + x + C$

(b) $14$

問題3:

$\frac{152}{3}$