不定積分 $\int 3xe^{-2x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

不定積分 $\int 3xe^{-2x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = 3x$ と $dv = e^{-2x} dx$ とおきます。

すると、$du = 3 dx$ と $v = \int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int 3xe^{-2x} dx = 3x(-\frac{1}{2}e^{-2x}) - \int (-\frac{1}{2}e^{-2x}) (3 dx)$

$= -\frac{3}{2}xe^{-2x} + \frac{3}{2} \int e^{-2x} dx$

$= -\frac{3}{2}xe^{-2x} + \frac{3}{2} (-\frac{1}{2}e^{-2x}) + C$

$= -\frac{3}{2}xe^{-2x} - \frac{3}{4}e^{-2x} + C$

3. 最終的な答え

$\int 3xe^{-2x} dx = -\frac{3}{2}xe^{-2x} - \frac{3}{4}e^{-2x} + C$

または

$\int 3xe^{-2x} dx = -\frac{3}{4}e^{-2x}(2x+1) + C$