関数 $f(x, y) = 4(x^2 + y^2) \cos^3(x + 2y)$ をマクローリン展開する。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = 4(x^2 + y^2) \cos^3(x + 2y)$ をマクローリン展開する。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、多変数関数のテイラー展開の中心を原点 (0, 0) にとったものです。つまり、関数 $f(x, y)$ のマクローリン展開は、

$f(x, y) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} \right)^n f(0, 0)$

となります。

まず、$f(x,y)$のいくつかの偏導関数を計算します。

$f(0,0) = 4(0^2+0^2) \cos^3(0+2(0)) = 0$

$\cos^3(x+2y)$ を $\cos(x+2y)$ の３乗と見て、積の微分を使って偏微分します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4(2x \cos^3(x+2y) + (x^2+y^2)3\cos^2(x+2y)(-\sin(x+2y)))$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4(2y \cos^3(x+2y) + (x^2+y^2)3\cos^2(x+2y)(-\sin(x+2y))2)$

よって

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 4(0 + 0) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 4(0 + 0) = 0$

次に二階偏導関数を計算します。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 4(2\cos^3(x+2y) + 2x \cdot 3\cos^2(x+2y)(-\sin(x+2y)) + 2x \cdot 3\cos^2(x+2y)(-\sin(x+2y)) + (x^2+y^2) \{6\cos(x+2y)(-\sin(x+2y))(-\sin(x+2y)) + 3\cos^2(x+2y)(-\cos(x+2y)) \} )$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 4(2\cos^3(x+2y) + 2y \cdot 3\cos^2(x+2y)(-\sin(x+2y))2 + 2y \cdot 3\cos^2(x+2y)(-\sin(x+2y))2 + (x^2+y^2) \{6\cos(x+2y)(-\sin(x+2y))(-\sin(x+2y))4 + 3\cos^2(x+2y)(-\cos(x+2y))4 \} )$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 4(2y \cdot 3\cos^2(x+2y)(-\sin(x+2y)) + 2x \cdot 3\cos^2(x+2y)(-\sin(x+2y))2 + (x^2+y^2) \{6\cos(x+2y)(-\sin(x+2y))(-\sin(x+2y))2 + 3\cos^2(x+2y)(-\cos(x+2y))2 \} )$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0) = 4(2+0+0+0) = 8$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,0) = 4(2+0+0+0) = 8$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) = 0$

したがって、２次の項までマクローリン展開すると、

$f(x, y) \approx f(0,0) + x\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) + y\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) + \frac{1}{2} (x^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0) + 2xy \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) + y^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,0))$

$= 0 + 0 + 0 + \frac{1}{2}(x^2 \cdot 8 + 2xy \cdot 0 + y^2 \cdot 8) = 4x^2 + 4y^2$.

ここで$\cos^3(x+2y)$をテーラー展開します。

$\cos(x+2y) \approx 1 - \frac{(x+2y)^2}{2} + \cdots$

$\cos^3(x+2y) \approx (1 - \frac{(x+2y)^2}{2})^3 \approx 1 - \frac{3(x+2y)^2}{2} + \cdots$

$f(x,y) = 4(x^2+y^2) (1 - \frac{3(x+2y)^2}{2}) = 4(x^2+y^2) (1-\frac{3(x^2+4xy+4y^2)}{2}) = 4(x^2+y^2) - 6(x^2+y^2)(x^2+4xy+4y^2) + \cdots$

$= 4x^2+4y^2 - 6(x^4 + 4x^3y + 4x^2y^2 + y^2x^2 + 4xy^3 + 4y^4) + \cdots$

$= 4x^2 + 4y^2 - 6x^4 - 24x^3y - 30x^2y^2 - 24xy^3 - 24y^4 + \cdots$

3. 最終的な答え

$f(x, y) \approx 4x^2 + 4y^2 - 6x^4 - 24x^3y - 30x^2y^2 - 24xy^3 - 24y^4 + \cdots$