与えられた三角関数の式を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ という条件が与えられています。具体的には以下の2つの式を変形します。 (1) $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ (2) $-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ という条件が与えられています。具体的には以下の2つの式を変形します。

(1) $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$

(2) $-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式を利用します。

$a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$と変形できます。ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$であり、$\cos\alpha = \frac{a}{r}$、$\sin\alpha = \frac{b}{r}$ となります。

(1) $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ の場合：

$a = \sqrt{3}$, $b = 1$ なので、$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ となります。

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{6}$ となります。

したがって、$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$ となります。

(2) $-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の場合：

$a = -1$, $b = \sqrt{3}$ なので、$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ となります。

$\cos\alpha = \frac{-1}{2}$, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = \frac{2\pi}{3}$ となります。

したがって、$-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{2\pi}{3})$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

(2) $2\sin(\theta + \frac{2\pi}{3})$