関数 $y = \frac{x^2 + 1}{e^x}$ を $x$ で微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2 + 1}{e^x}$ を $x$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。

ここで、$u = x^2 + 1$ と $v = e^x$ とおく。

すると、$u' = 2x$ と $v' = e^x$ となる。

したがって、

$y' = \frac{2x \cdot e^x - (x^2 + 1) \cdot e^x}{(e^x)^2}$

$= \frac{e^x(2x - x^2 - 1)}{e^{2x}}$

$= \frac{2x - x^2 - 1}{e^x}$

$= \frac{-(x^2 - 2x + 1)}{e^x}$

$= -\frac{(x-1)^2}{e^x}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{(x-1)^2}{e^x}$