$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{x - 1}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{x - 1}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x-1 = t$ と置換すると、$x = t+1$ となり、$x \to 1$ のとき $t \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{x - 1} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi(t+1))}{t}$

$\sin(\pi(t+1)) = \sin(\pi t + \pi) = \sin(\pi t) \cos(\pi) + \cos(\pi t) \sin(\pi) = -\sin(\pi t)$

なので、

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi(t+1))}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(\pi t)}{t} = -\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi t)}{t}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用するために、$\pi t = u$ と置換すると、$t = \frac{u}{\pi}$ となり、$t \to 0$ のとき $u \to 0$ となります。

$-\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi t)}{t} = -\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{\frac{u}{\pi}} = -\lim_{u \to 0} \frac{\pi \sin u}{u} = -\pi \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = -\pi \cdot 1 = -\pi$

3. 最終的な答え

$-\pi$