$\lim_{x \to \infty} \frac{x \log x}{x + \log x}$ の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{x \log x}{x + \log x}$ の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を$x$で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x \log x}{x + \log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{1 + \frac{\log x}{x}}$$

次に、$x \to \infty$のとき$\frac{\log x}{x} \to 0$となることを利用します。これはロピタルの定理を使うことで示すことができます。つまり

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{1 + \frac{\log x}{x}} = \frac{\lim_{x \to \infty} \log x}{1 + \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}} = \frac{\lim_{x \to \infty} \log x}{1 + 0} = \lim_{x \to \infty} \log x$$

$x \to \infty$のとき、$\log x \to \infty$となるので、

$$\lim_{x \to \infty} \log x = \infty$$

3. 最終的な答え

$\infty$