以下の2つの曲線について、x軸のまわりに1回転させてできる回転面の面積を求めます。 (1) $y=3x$ ($2 \le x \le 5$) (2) $y=\sqrt{x+1}$ ($-1 \le x \le 0$)

1. 問題の内容

以下の2つの曲線について、x軸のまわりに1回転させてできる回転面の面積を求めます。

(1) $y=3x$ ($2 \le x \le 5$)

(2) $y=\sqrt{x+1}$ ($-1 \le x \le 0$)

2. 解き方の手順

回転面の面積を求める公式は次の通りです。

$S = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

(1) $y=3x$ の場合:

$\frac{dy}{dx} = 3$

したがって、

$(\frac{dy}{dx})^2 = 9$

$1+(\frac{dy}{dx})^2 = 1+9 = 10$

$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{10}$

回転面の面積は、

$S = 2\pi \int_{2}^{5} 3x \sqrt{10} dx = 6\pi\sqrt{10} \int_{2}^{5} x dx = 6\pi\sqrt{10} [\frac{x^2}{2}]_{2}^{5} = 6\pi\sqrt{10} (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) = 6\pi\sqrt{10} (\frac{21}{2}) = 63\pi\sqrt{10}$

(2) $y=\sqrt{x+1}$ の場合:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{1}{4(x+1)}$

$1+(\frac{dy}{dx})^2 = 1 + \frac{1}{4(x+1)} = \frac{4(x+1)+1}{4(x+1)} = \frac{4x+5}{4(x+1)}$

$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{\frac{4x+5}{4(x+1)}} = \frac{\sqrt{4x+5}}{2\sqrt{x+1}}$

回転面の面積は、

$S = 2\pi \int_{-1}^{0} \sqrt{x+1} \frac{\sqrt{4x+5}}{2\sqrt{x+1}} dx = \pi \int_{-1}^{0} \sqrt{4x+5} dx$

$u = 4x+5$ と置換すると、 $du = 4 dx$, $dx = \frac{1}{4}du$

$x=-1$ のとき、$u = 4(-1)+5 = 1$

$x=0$ のとき、$u = 4(0)+5 = 5$

$S = \pi \int_{1}^{5} \sqrt{u} \frac{1}{4}du = \frac{\pi}{4} \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} du = \frac{\pi}{4} [\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5} = \frac{\pi}{6} [u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5} = \frac{\pi}{6} (5^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $63\pi\sqrt{10}$

(2) $\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5} - 1)$