問題は、以下の2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to +0} \frac{\sin x - \sin x^2}{x - x^2}$ (2) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(3x+1) - \log(3x)\}$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{\sin x - \sin x^2}{x - x^2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(3x+1) - \log(3x)\}$

2. 解き方の手順

(1)

$x \to +0$ のとき、$x^2$ は $x$ よりも非常に小さくなるので、$x^2$ を無視することを考えます。

まず、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to +0} \frac{\sin x - \sin x^2}{x - x^2} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{\sin x}{x} - \frac{\sin x^2}{x}}{1 - x} = \frac{\lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} - \lim_{x \to +0} \frac{\sin x^2}{x}}{1 - \lim_{x \to +0} x}$

ここで、$\lim_{x \to +0} \frac{\sin x^2}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{\sin x^2}{x^2} x = 1 \cdot 0 = 0$ であることを利用します。

よって、

$\lim_{x \to +0} \frac{\frac{\sin x}{x} - \frac{\sin x^2}{x}}{1 - x} = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1$

(2)

$\lim_{x \to \infty} x\{\log(3x+1) - \log(3x)\}$

対数の差を対数の商に変換します。

$\lim_{x \to \infty} x \log \frac{3x+1}{3x} = \lim_{x \to \infty} x \log (1 + \frac{1}{3x})$

ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。

$\lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log(1 + \frac{t}{3}) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + \frac{t}{3})}{t}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + \frac{t}{3})}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + \frac{t}{3})}{\frac{t}{3}} \cdot \frac{1}{3} = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1/3